開基についてメモ

背景

「微分形式の幾何学」（著: 森田茂之）という本で勉強をしている。 解析学も位相空間論もちゃんとできてないのにこんなのできるのという不安はあるが、 まあ、数学は自由なのでやってみている。 ところで、この本では位相多様体を定義に第二可算公理を含めていて、その関連で開基について以下のように述べられている。

...... M の可算個の開集合 U_1, U_2, \dots があって、任意の開集合 U とその上の点 p に対し、ある i が存在して p \in U_i \subset U となるようにできる ......

U_1, U_2, \dots が可算個と言っているのは第二可算公理の言明なので開基であることとは関係がない。 この表現は私の知っている開基の定義とは違ったので、二つの定義が同値であることを証明してみる。

開基の二つの定義

前提として、 X を位相空間、 T を X の開集合全体の集合、 B = \{ B_i \} _{i \in I} を T の部分集合（つまり X の開集合の族）とする。 このとき、次の二つの主張が同値であることを示す。

  1. \forall U \in T, \exists J \subset I, s.t. U = \bigcup_{j \in J} B_j
  2. \forall p \in \forall U \in T, \exists i \in I, s.t. p \in B_i \subset U

背景での引用では U_i だったものを B_i と表現していることに注意。

証明

1. \Rightarrow 2.

X の開集合 U とその上の点 p を任意にとる。 仮定より U = \bigcup_{j \in J} B_j となるような J \subset I が得られる。 p \in U より、 i \in J \subset I で p \in B_i となるものが存在する。 i \in J だから B_i \subset U でもあり、2.が成り立つ。

2. \Rightarrow 1.

X の開集合 U を任意にとる。 選択公理と仮定により、 U 上の点 p に対して、 p \in B_i \subset U を満たす i \in I を返す関数 \phi : U \to I が存在する。 J として U の \phi による像 \phi (U) を考え、 U = \bigcup_{j \in \phi (U)} B_j を示す。 まず、 p \in U とすると、 p \in B_{\phi(p)} \subset \bigcup_{j \in \phi(U)} B_j なので U \subset \bigcup_{j \in \phi(U)} B_j である。 一方、 各 B_j は U の部分集合であることから U \supset \bigcup_{j \in \phi(U)} B_j が従う。 よって、 U = \bigcup_{j \in \phi(U)} B_j であり、1.が成り立つ。

疑問

2. \Rightarrow1.の証明で選択公理を使ったけど、本当に必要なのかわからん。