prololo’s diary

位相空間論の復習

「微分形式の幾何学」（著：森田茂之）をゆっくり勉強している。この本の§1.3 (c)の命題1.29の証明で次のような記述がある。

$M$ は多様体であるから、もちろん局所コンパクトなHausdorff空間である。このことから $O_i$ の中で $\overline{O_i}$ がコンパクトなものだけを集めても開集合の基になっていることがわかる。

ここで、 $\{O_i\}_i$ は $M$ の（可算個の元からなる）開基である。私には全然わからなかったので、関連しそうなことをいくらか調べてここに書く。

用語の整理

Hausdorff空間

位相空間 $X$ がHausdorff空間であるとは、任意の相異なる点 $x, y \in X$ に対して、それぞれの開近傍 $U_x, U_y$ で $U_x \cap U_y = \emptyset$ となるものが存在することである。

多様体

位相空間 $M$ が $n$ 次元位相多様体であるとは、

$M$ はHausdorff空間であり、
$M$ は第二可算公理を満たし、かつ
$M$ の任意の点に対してその開近傍で $\mathbb{R}^n$ の開集合と同相になるものが存在する

ことである。

ここで $X$ じゃなくて $M$ としたのは多様体(Manifold)だから。

被覆

集合 $X$ の部分集合の族 $\{U_i\}_{i \in I}$ が $X$ の被覆であるとは、その和集合 $\displaystyle\bigcup_{i \in I} U_i$ が $X$ に等しくなることである。

開被覆

$U$ を位相空間 $X$ の部分集合とする。このとき、 $U$ の開被覆とは、 $U$ の被覆でその元がすべて開集合のものである。

細分

集合 $X$ の被覆 $\{V_j\}_{j \in J}$ が被覆 $\{U_i\}_{i \in I}$ の細分であるとは、任意の $i \in I$ に対して、ある $j \in J$ が存在して、 $V_j \subset U_i$ となることである。

コンパクト集合

位相空間 $X$ の部分集合 $U$ がコンパクト集合であるとは、 $U$ の任意の開被覆に対してその有限の細分が存在することである。

コンパクト

位相空間 $X$ がコンパクトであるとは、 $X$ がコンパクト集合であることである。

近傍

位相空間 $X$ の部分集合 $U$ が点 $x \in X$ の近傍であるとは、ある開集合 $O$ が存在して、 $x \in O \subset U$ が成り立つことである。

局所コンパクト

位相空間 $X$ が局所コンパクトであるとは、 $X$ の任意の点 $x \in X$ に対して $x$ の近傍となっているコンパクト集合が存在することである。

基本的な性質

今日調べた基本的な性質を列挙する。

Hausdorff空間の部分空間はHausdorff空間である。
連続写像によるコンパクト集合の像はコンパクト集合である。
コンパクトな空間の閉集合はコンパクト集合である。
Hausdorff空間のコンパクト集合は閉集合である。
$\mathbb{R}^n$ は局所コンパクトである。
$\mathbb{R}^n$ はHausdorff空間である。
位相多様体は局所コンパクトである。

ちょっと不安な部分もあるから明日証明を書く。