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全射と商位相

今日は多様体の例を見ていて商位相が出てきたときにふと引っかかったことを書く。 商位相の定義にはいくつか流儀があるかもしれないけど、 例えば以下のように定義される。

定義

を位相空間、を集合、を全射とする。 このとき、のによる商位相とは、のことである。

引っかかったこと

今朝、定義のが位相であることを証明して、 が全射であることを全然使わなかったことに引っかかった。 集合と位相の教科書（著: 斎藤毅）によると、 が一般の写像のときのこのような位相を像位相と呼び、 が何らかの商集合でが商写像のときに商位相と呼ぶっぽい。 一方、微分形式の幾何学の方ではが全射なら商位相と呼ぶというスタンスな感じ。

まあ、全射じゃないと商っぽさないし、全射ならが商写像となるような 商集合を構成できるからそういうものなのだろう。