微分可能多様体の定義について

位相多様体とは

位相空間 $M$ が $n$ 次元位相多様体であるとは、次の三つの性質をすべて満たしていることである。すなわち、

Hausdorffの分離公理が成り立つ。
第二可算公理が成り立つ。
任意の点 $p \in M$ に対して、 $p$ の局所座標系 $(U, \phi)$ が存在する。ここで、座標近傍 $U$ は $p$ の開近傍、 局所座標 $\phi: U \to \phi(U) \subset \mathbb{R}^n$ は同相写像である。

今読んでる本によると、位相多様体は以上のように定義される。第二可算公理は位相多様体の定義に含めないことも多いらしい。

微分可能多様体とは

位相多様体 $M$ が $C^{\infty}$ 微分可能多様体であるとは、あるアトラス $\mathcal{S} = \{ (U_{\alpha}, \phi_{\alpha}) \}_{\alpha \in A}$ が存在して、任意の座標変換 $f_{\beta\alpha}: \phi_{\alpha}(U_{\alpha}\cap U_{\beta}) \to \phi_{\beta}(U_{\alpha}\cap U_{\beta})$ が $C^{\infty}$ 級であることである。